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Numerische Simulation – Graphiken

Die numerische Lösung der Bewegungsgleichungen für unser Modell gibt die Kreiselbewegung einschließlich dem Aufstellen auf den Stift sehr gut wieder. Wir wollen hier ein typisches Beispiel vorstellen. Die Geometrieparameter entsprechen durchaus realistischen Kreiseln: r = 1.5 cm, a = 0.3 cm, r' = 0.5 cm und a' = 1.9 cm.

Der Neigungswinkel θ der Symmetrieachse gegenüber der Grundfläche verhält sich als Funktion der Zeit wie folgt:

Im Bereich von etwa 2 bis 6 Sekunden steht der Kreisel in dieser Simulation auf dem Stift. Anschließend ist ein Plateau bei ca. 130 Grad Neigung zu finden, welches daher rührt, daß sich der Kreisel sowohl mit dem Stift als auch mit der großen Kugel auf dem Boden befindet. In dieser sogenannten Doppelkontaktphase werden die Auflagekräfte mit Hilfe der elastischen Eigenschaften von Kreisel und Unterlage bestimmt.

Beim Start der Berechnung wurde der Neigungswinkel der Symmetrieachse zur Grundfläche etwas verschieden von Null gesetzt, was im Experiment ganz automatisch der Fall ist. Damit wird verhindert, daß der Kreisel im labilen Gleichgewicht mit exakt senkrechter Symmetrieachse verharrt. Durch das komplizierte Wechselspiel der Kreiselkräfte und Reibung entsteht dabei auch eine horizontale Bewegung des Kreiselschwerpunktes, welche im folgenden Bild auf die x-y-Ebene (Unterlage) projiziert wurde:

In der Abbildung repräsentieren die verschiedenen Farben verschiedene "Phasen" in der Bewegung des Kreisels. Die graue Linie bedeutet, daß nur die Hauptkugel des Kreisels die Unterlage berührt. Die blaue Linie zeigt den Bereich der Bewegung, bei dem der Kreisel auf dem Stift steht. Die grüne Linie steht hingegen für den Fall, bei dem sowohl der Stift als auch die Kugel den Boden berühren, also die Doppelkontaktphase. Schließlich gibt es noch ein paar kurze rote Abschnitte, die anzeigen, daß sich der Kreisel komplett in der Luft befindet! Diese treten vor allem direkt bei der Aufrichtung auf den Stift und beim ersten Zurückfallen der Kugel auf die Unterlage auf.

Wir haben den Kreisel bei dieser Simulation übrigens mit einer geeigneten Anfangsgeschwindigkeit des Schwerpunktes gestartet, um die horizontale Bewegung möglichst klein zu halten. Dies ist erforderlich, damit der Kreisel nicht "aus dem Bild läuft" und wir einen Film von der Kreiselbewegung erstellen können ...

zum nächsten Abschnitt: Numerische Simulation – Film